2009年統計師《統計基礎知識》參數評估(1)
發布時間：2010-01-19 共1頁
(一) 參數的點估計
點估計又稱定值估計，是一種對未知的總體參數進行估計的統計方法，其估計結果是一個具體數值。
點估計問題的嚴格數學表達式如下：設總體X的分布函數F 形式為已知， 是待估參數， 是X的一個樣本， 是相應的一個樣本觀察值，通過構造一個適當的統計量 ( )，用它的觀察值 ( )來估計未知參數 。我們稱 ( )為 的估計量，稱 ( )為 的估計值，在不致混淆的情況下統稱為估計，并都簡記為 。需要注意的是，由于估計量是樣本的函數，因此對于不同的樣本， 估計值往往是不同的。
點估計的優點在于它能夠提供總體參數的具體估計值，其表達更直觀、簡練，并可以作為行動決策的數量依據。但其不足之處也是很明顯：點估計所提供的信息量比較少，尤其不能提供估計的誤差和把握程度方面的信息，比如說，誤差會有多，有多把握可以保證結果正確等，這些信息在決策中往往是非常重要的。
點估計的方法主要有矩估計法、最似然法及貝葉斯法等。
1. 矩估計法
矩估計法首先在1849年由英國統計學家皮爾遜提出，它有簡單易行的優點。用樣本的矩作為相應(同類、同階)總體矩的估計方法稱為矩估計法。
在統計學中，矩是指以期望值為基礎而定義的數字特征。矩分原點矩和中心矩兩種。
設X為隨機變量，對于任意正整數k，稱E(Xk)為隨機變量X的k階原點矩，稱E[X-E(X)]k為以E(X)為中心的k階中心矩。當k=1時，E[X-E(X)]= ，當k=2時，E[X-E(X)]2= ，于是說總體X的一階原點矩(總體均值)為 =EX，二階中心矩為 =DX，(即：總體的一階原點矩就是數學期望，二階中心矩則是方差)
1. 最似然估計法
最似然估計法是費歇在1912年提出的。從理論上看，它是參數點估計中最重要的方法，具有優良的數學性質，應用十分廣泛。最似然估計法是建立在最似然原理基礎上的求估計量的方法。
(1) 最似然原理
最似然原理的直觀想法是：將在試驗中概率最的事件推斷為最可能出現的事件。
一般地，如果總體分布中未知參數 可供選擇的估計有 ，對于任意x，恒有： 成立。其中 是 中的某一個， 是異于 中任一估計，由于 使概率 )為最，故應選 作為 的估計。滿足上式的 稱為待估參數 的最似然估計。這就是最似然原理的基本思想。
(2) 最似然估計法簡介(略)
2. 估計量的評選標準
在參數估計中，我們用樣本估計量 作為總體參數 的估計。實際上，用于估計的估計量在很多情況下不只一個，例如：我們可以用樣本均值作為總體均值的估計量，也可以用樣本中位數作為總體均值的估計量等等。
